találkozott a geometriával, mégpedig véletlenül.
A könyvtárban volt, Eukleidész Elemei nyitva feküdtek
az I. Könyv 47. tételénél. Elolvasta a tételt.
Istenemre – mondta (a nyomaték kedvéért itt és most meg is
esküdött volna rá) – ez lehetetlen! Ezután elolvasta a bizonyítást, amely visszautalt egy másik tételre, amelyet szintén elolvasott.
Et sic deinceps (és így tovább), úgy,
hogy is a bizonyítás meggyôzte ôt a tétel igazságáról.
Ez tette ôt a geometria szerelmesévé.«"
(John Aubrey: Brief Lives)
A ma leginkább az „eugenika atyjaként" számon tartott Francis Galton csodagyerekként indult, unokabátyja, Charles Darwin javaslatára kezdett matematikával foglalkozni tizenkét évesen, és végül tipikus XIX. századi „kvalifikátor" vált belôle, aki mindent meg akart mérni. Többek között kiszámította, hogy mi a nagyobb munka: megkötni egy pár harisnyát vagy megfesteni egy arcképet (az udvari arcképfestôt tanulmányozva megállapította, hogy mindegyikhez kb. ugyanannyi mozdulat szükséges, vagyis egyenlôségjel tehetô közéjük); hogy milyen korreláció van az angol uralkodóház egyes tagjaiért idôegység alatt elmondott imák száma meg az illetô várható élettartama között (azt találta, hogy fordított arányosság áll fenn: minél többet imádkoznak valakiért, valószínûleg annál rövidebb ideig fog élni); és a meteorológiai térképek mintájára összeállította Nagy-Britannia nôi szépségtérképét is. (A legtöbb csúnya nôvel a skóciai Aberdeenben, a legtöbb széppel pedig Londonban találkozott. Arra, hogy mennyire komolyan hitt a kérdés objektív megválaszolhatóságában, mi sem jellemzôbb, mint az, hogy 1880-ra zsebben hordható, ötbillentyûs regisztráló készüléket fejlesztett ki.)
az univerzális matematika
Az anekdotikus érdekességen túl Galtont leginkább azért érdemes itt megemlíteni, mert tökéletesen megtestesítette a számolásba, illetve a matematika mindenhatóságába – és szó szerint egyetemességébe – vetett hitet. 1896-ban például felvetette, miképpen lehetne kommunikálni a marslakókkal, illetve mit is kellene tennünk, ha egy „ôrült marsi milliomos" pontokból és vonalakból álló üzenetét fognánk. A válasz mai szemmel nézve túlságosan is egyértelmûnek tûnt mind neki, mind pedig a kortársainak: minden bizonnyal a matematikából kellene kiindulni, jelentette ki ugyanis Galton. Történetében az a feltételezés vezetett el a megoldáshoz, mely szerint a Vörös Bolygó lakosai tulajdonképpen „nagyra nôtt hangyák csupán, akik, lévén hat lábuk és két csápjuk, ugyanúgy a nyolcas számrendszert használják, mint ahogyan ôseink a tízes számrendszerrel dolgoztak". Az ötlet persze egyáltalán nem új, hiszen már Arisztotelész feltételezte, hogy a tízes számrendszer kézujjaink számára vezethetô vissza (a valóságban persze inkább mondhatjuk azt, hogy a tíz – vagy talán az öt? – egész számú többszörösére, mivel ismert például húszas és hatvanas számrendszer is). Ám Galton nem csupán azt sugallja, hogy egy idegen civilizáció a számolást az emberhez hasonlóan bizonyos végtagok számára alapozhatja, hanem azt is (és ez sokkal fontosabb), hogy az üzenetnek matematikai alapúnak kell lennie, ha azt akarjuk, hogy más értelmes lények biztosan megérthessék.
Ezzel persze korántsem volt egyedül. Egy gyakran visszatérô XIX. századi elképzelés szerint – amit sokszor Carl Friedrich Gaussnak, a „matematikusok fejedelmének" szokás tulajdonítani – például Szibériában vagy a Szaharában kellene óriási méretekben megjeleníteni a Pithagorasz-tételt – például árkokat ásva, majd az árkokba töltött benzint éjszaka meggyújtva –, mert arról minden értelmes lény felismerné, hogy mesterséges. És hogy egy másik megoldást is említsünk: amikor 1891-ben kiírták a 100 000 frankos Pierre Guzman-díjat a földönkívüliekkel (földönkívüliek alatt leginkább a Mars-, esetleg a Vénusz-lakókat értették) való kapcsolatfelvételre, akkor ismét csak Galton azt javasolta a London Times hasábjain, hogy tükörrendszerrel kellene a napfényt a marsiak teleszkópjai felé irányítani. Igaz, a neves angol csillagász, Richard Holt Hutton azt válaszolta erre, hogy az elképzelés „a lehetô legextravagánsabb", mivel 1) a marslakók nem léteznek; 2) ha esetleg léteznének is, sem olyan fejlettek, mint gondolnánk – vagy pedig teljesen más irányú a fejlettségük; 3) és különben is: a felvillanások segítségével legfeljebb matematikai trivialitásokat üzenhetnénk nekik.
Az tehát még a végtelenül szkeptikus Hutton számára is nyilvánvalónak látszott, hogy legalább a földi és a marsi matematika alapjai között nem lehet nagy a különbség.
A helyzet a valóságban azonban bonyolultabb, mintsem szeretnénk. Egyfelôl ugyanis feltételezhetjük, hogy egy olyan értelmes faj, amely nem rendelkezik viszonylag fejlett matematikával, nem lesz képes üzenetet küldeni a világûrbe (illetve fogni azt), mivel nem lesz képes elôállítani a megfelelô berendezéseket sem – vagyis mintha a matematika legalábbis szükséges (de nem feltétlenül elégséges ) feltétele lenne a földi jellegû technikai civilizációnak. Másfelôl pedig az is kérdéses, hogy a matematika megléte vajon szükségképpen a földi matematikát jelentené-e. A kapcsolatfelvétel legbiztosabb módjaként általában azt szokták javasolni, hogy sugározzuk ki kettes számrendszerben a pi elsô néhány ezer tizedesjegyét, mivel azt a földönkívüliek egészen biztosan mesterséges jelsorozatnak fogják értelmezni, ám eközben hajlamosak vagyunk elfelejtkezni arról, hogy a pi egy olyan matematikában játszik központi szerepet, amelynek nagyon is speciálisak az összetevôi.1 Az ugyanis, hogy az euklidészi geometriába mintegy „bele van építve" a körzô és a vonalzó használata, történeti okokra vezethetô vissza, és legalábbis nehéz – ha ugyan nem egyenesen lehetetlen – volna amellett érvelni, hogy bármely geometriában éppen a körnek, a négyzetnek meg a többi, körzôvel és vonalzóval megszerkeszthetô alakzatnak kell kitüntetett fontosságot tulajdonítani. De említhetnénk azt is, hogy ha az ókori görögök annak idején nem négyzetekbe, hanem háromszögekbe rendezik a számokat jelképezô kavicsokat, akkor az egész matematika másképpen alakul.
És az is kérdéses, hogy egy idegen matematikának mennyire kell a mi újkori matematikánkhoz hasonlóan absztraktnak lennie. Esetleg elképzelhetô volna egy olyan civilizáció, ahol az általános összefüggések megfogalmazása helyett (mint amilyen a Pithagorasz-tétel is) a konkrét megoldásokat részesítik elônyben? Az egyiptomiak például a földméréshez bizonyos ismert számpárokat használtak az a2 + b2 = c2 összefüggés helyett, és nekünk legalábbis úgy tûnik, hogy ilyen kevéssé elvont módszerekkel sem rádióteleszkópokat, sem ûrhajókat nem lenne könnyû építeni. Elsô lépésben tehát legfeljebb annyit mondhatunk, hogy földi értelemben vett matematika nélkül nem lehet földi értelemben vett technikai civilizációt létrehozni.
A természetes kiválasztódás
matematikája
Az evolúciónak köszönhetôen mindenféle számítás nélkül is meg tudjuk jósolni az eldobott kô pályáját: ez annak idején nyilvánvalóan elônyös volt a túlélés szempontjából. A természetes szelekció azonban nem hat a szintén komoly matematikai ismereteket kívánó távcsôtükör-csiszolási, a rakéta- vagy éppenséggel a katedrálisépítési képességek elômozdítása felé, és értelmetlenség is volna feltételezni, hogy ebbe az irányba hatna. És nem csupán azért értelmetlenség, mert az emberi faj létrejötte folyamán semmi nem tette szükségessé. De haladjunk sorjában.
Nem rendelkezvén a megfelelô ismeretekkel, a gótikus katedrálisokat annak idején úgy építették, hogy az építômesterek megpróbálták megbecsülni, milyen vastagoknak kell lenniük a falaknak, majd pedig kétszer olyan vastagra csinálták – és azok sokszor még így is összedôltek. Kiindulhatnánk persze abból, hogy nincs is olyan nagy különbség egy kô röppályájának kiszámítása meg egy támpillér méretezése között, és legalábbis elvileg elképzelhetôk volnának olyan körülmények, amelyekben hozzájárul a túlélési esélyek megnöveléséhez, ha a matematika segítsége nélkül is meg tudjuk állapítani a helyes arányokat. A röppálya kiszámítása mintegy biológiailag van belénk huzalozva, és azt sem szabad elfelejteni, hogy a civilizáció – ami megkívánhatná mondjuk a távcsôtükör-csiszolási képességeket, alig pár ezer éve létezik, ami elhanyagolhatóan rövid idô az ember biológiai kialakulásához képest. Azt szokás mondani, hogy biológiai értelemben legkésôbb az újkôkor óta nem változtunk, tehát nem is lehettünk volna képesek biológiailag alkalmazkodni mondjuk a túlélés elôfeltételeként „távcsôépítést megkívánó" környezethez.
Csakhogy az a körülmény, hogy evolúciós értelemben elônyös volna valaminek a megléte, önmagában még nem jelent semmit: adott esetben a csimpánznak is hasznos lenne, ha pontosan tudná dobni a követ – ám ebbôl még nem következik, hogy képes is rá. Ha minden igaz, akkor egyszerûen nem is megfelelô hozzá az idegrendszere.
Egy John Holland nevû matematikus már az 1950-es években kidolgozta az ún. genetikus algoritmust, ami lehetôvé teszi a számítástechnikában az átöröklés, illetve az átöröklésen keresztül az evolúció mûködésének modellezését, és a University of California (Los Angeles) számítógépén nem sokkal késôbb létre is hoztak egy mindössze 450 bites egyedekbôl álló virtuális hangyakolóniát. A hangyáknak az volt a feladatuk, hogy végighaladjanak egy ösvényen, és mivel kezdetben véletlenszerû kódkészlettel rendelkeztek, ezért véletlenszerûen bolyongtak összevissza. (A szaporodás, azaz a génkészlet továbbadás „szexuális úton" történt, vagyis két egyed génjei véletlenszerûen keveredtek össze, és ehhez járultak még, egészen, mint a valóságban, a véletlen mutációk. A génkészlet határozta meg, hogy a hangya milyen útvonalat járjon végig – semmiféle érzékszerve nem volt a környezetre való reagálásra, ezért az egyetlen visszacsatolás a „természetes kiválasztás" révén történt.) A számítógép mesterséges környezete azonban mindig csak azokat az egyedeket engedte „továbbszaporodni", amelyek a feladat megoldásában jobbak voltak a többinél, és alig 70 generáció múlva már meg is jelentek az „akadályok" kikerülésére és az „élelem" megkeresésére, illetve általában véve a feladat megoldására tökéletesen képes „bithangyák".
Mindez elsôre talán meggyôzônek tûnhetne – csak éppen egy akár csak kicsit is eltérô ösvény esetében kezdôdhetett volna elölrôl az egész, a probléma megoldásáért folytatott evolúciós versenyfutás (a nem kevesebb, mint 69 sikertelen generációval), és ebbôl már legalábbis sejthetô, hogy közelrôl sem mindig a kizárólag a véletlen próbálkozásokon alapuló megoldás a legjobb. Hiszen ha az lenne, akkor semmi nem tette volna célszerûvé – értsd: evolúciósan elônyössé – a vak találgatásnál mérhetetlenül rugalmasabb, saját hibáiból is tanulni képes értelem bevezetését. Semmi okunk nincsen azt képzelni, hogy bármilyen szempontból hatékonyabb volna az értelemnél valamiféle „katedrálisépítô ösztön".
Stanislaw Lem, az ismert lengyel sci-fi író és teoretikus az „evolúció mindenre képes, csak hagyjunk neki elég idôt" logikán gúnyolódva egy bizonyos R. Gulliver fiktív esetét említi, aki jövôbelátó baktériumtenyészetet hozott volna létre. „A probléma mindössze abban áll – írja Lem –, hogyan kényszerítsük a baktériumokat az angoltanulásra, hogyan tegyük az angol nyelv elsajátítását [számukra] a túléléshez nélkülözhetetlenné. Olyan helyzetet kell teremteni, amelybôl csak két lehetôség következik: vagy megtanultok írni, vagy elpusztultok." Lem hôse tehát olyan körülményeket hozott létre, ahol a táptalajra nyelvtanilag helyes szövegeket író kolóniák fennmaradtak, azok azonban, aki hibáztak, nem – a következô lépésben pedig már az volt a szelekciós tényezô, hogy mennyire képesek elôre jelezni a jövôt. Csak a jövôben bekövetkezô eseményeket helyesen leíró tenyészetek fejlôdhettek tovább.
Ám a valóságban semmi nem szól amellett, hogy létezhetnek egyáltalán ilyen, a „jövôbelátási képességekkel" rendelkezô baktériumok, és egyáltalán: a valóságban nagyon is le vannak határolva az evolúciós lehetôségek. Miközben egy „genetikai létra" fokain végighaladva nyilvánvaló, hogy sok, ámde véges számú lépésben el lehet jutni az embertôl a kolibriig vagy a tonhalig, vagyis elvileg annak sem volna akadálya, hogy az embert megfelelô genetikai manipulációkkal ezek egyikévé változtassuk, aközben feltételezhetjük ugyan, hogy a madarak szárnya, a kéz és az uszony azonos eredetûek, ám semmi nem garantálja, hogy létezik olyan génkombináció, ami a kolibriszárnyakkal vagy uszonyokkal rendelkezô embert eredményezné. Ebbôl már egyenesen következik, hogy a genetikai lehetôségek meg a végtelen számú matematikai lehetôség tere lefedik egymást. A matematikailag lehetséges változatok közül viszont korántsem mindegyik lehetséges a gyakorlatban is – gondoljunk csak például a QWERTY-jelenségre. Az írógép megjelenésekor ezt a gépelés szempontjából különösen elônytelen billentyûkombinációt éppen azért alakították ki, hogy lelassítsák a titkárnôket – máskülönben – ha a leggyakoribb betûket rakják egymás mellé – állandóan összeakadtak volna a betûkarok. Ma erre a korlátozásra nyilvánvalóan semmi szükség nincsen, az 1870-es évek vége óta megjelent újabb és újabb írógép-generációk azonban mindig örökölték ezt a kialakítást, és a számítógép billentyûzete is ilyen, noha a gépben már nincs minek összeakadnia. (A lényegesen logikusabb felépítésû Dvorak-billentyûzet azonban sehogy sem tudott elterjedni. Legalábbis figyelemre méltó, hogy az elvileg – mondhatni „evolúciósan" – elônyösebb megoldás történeti okokból maradt alul, miközben hajlamosak volnánk az evolúció egy határozottan naiv és vulgáris verziója szerint azt képzelni, hogy „a jobbnak kell fennmaradnia", mert miért is akadna titkárnô, aki a munkáját hátráltató billentyûzetkiosztást választja.) Az elôtörténet nyilvánvalóan még ilyen szélsôségesen „ésszerûtlen" esetekben is meghatározza a leszármazást, és ha ezt a genetikára alkalmazzuk, akkor nem lesz nehéz belátnunk, hogy miért olyan kevés elvileg elképzelhetô változtatás lehetséges a valóságban.
És ebbôl már egyenesen következik az is, hogy önmagában sem a „lehetségesség", sem az „ésszerûség" nem elegendô, és ha megpróbáljuk kitalálni, hogy milyen is lehet a földönkívüliek matematikája, akkor nagyon is vigyáznunk kell az általánosításokkal. Elvégre ennek a matematikának az elôtörténetét azon egyszerû oknál fogva nem vehetjük figyelembe, merthogy nem tudhatjuk, mi is volt az valójában.
És mivel ez az esetlegesség mindenütt szerepet játszhat, ezért hiba volna a földi matematika kialakulásában valamiféle szükségszerûséget látni. Vagy a földi matematikára épülô technikai civilizációban – és ebbôl már az is következik, hogy néhány véletlenen múlt, hogy nem történt máshogyan az egész.
Innentôl kezdve aztán indokolatlan is volna egy olyan, a matematikán alapuló technikai civilizáció felbukkanásában reménykedni, ami eléggé hasonlít a miénkhez ahhoz, hogy fel tudjuk venni vele a kapcsolatot. A földi, az esetleges földönkívüliekkel kapcsolatot kiépíteni képes technika (természetesen az európai eredetû technikára gondolunk) teljes mértékben a különbözô, többé-kevésbé „véletlen sodródások" révén létrejött számítástechnikán – méghozzá az elektromosságot használó számítástechnikán – alapul,2 és semmi sem garantálja, hogy ugyanez másutt is megjelenik: egy értelmes lények alkotta civilizációról nagyon is elképzelhetô, hogy nem lesz földi jellegû, matematikán – és számítástechnikán – alapuló technikai civilizáció.
A kérdés tehát egyfelôl immár az, hogy milyen körülmények vezettek a ránk jellemzô, nagyon is specifikus matematikai felfogás kialakulásához. Másfelôl pedig az, hogy milyen szinten kötôdik az értelem a matematikához.
Aritmetika, számolás,
matematika
Marvin Minsky, a mesterséges intelligencia szakértôje egy helyütt azt kérdezte, hogy „miért lesznek érthetôek az értelmes idegenek", majd pedig arra a kérdésre vezette vissza a problémát, hogy vajon létezhetnek-e a földitôl eltérô (ám ugyanolyan jó) aritmetikaszerû, számolásra szolgáló rendszerek, és végül arra a következtetésre jut, hogy semmi meglepô nem volna benne, ha a földönkívüliek is a miénkhez hasonló matematikát használnának. Ez elsô hallásra olyan, mintha csupán felújított változata lenne Galton hitének, miszerint a matematika egyetemes elveken nyugszik. Számunkra azonban most leginkább az az érdekes, hogy milyen – nagyon is implicit és ennek ellenére nagyon is hangsúlyos – feltételezések is rejlenek mögötte.
„Takarékossági elv: amennyiben két viszonylag egyszerû folyamatnak hasonló végtermékei vannak – mondja Minsky –, úgy ezek a végtermékek nagy valószínûséggel tökéletesen azonosak!" Méghozzá azért, mert a legtöbb, „matematikailag lehetséges" folyamat egyszerûen nem csinál semmit. Tehát ha nem egyszerûen mûködnek, de ugyanúgy mûködnek – teszi hozzá az evolúcióbiológus Daniel C. Dennett –, úgy biztosak lehetünk benne, hogy ez nem véletlen egybeesés, hanem azért van így, mert a két folyamat „valamilyen szinten" azonosnak tekinthetô (más kérdés persze, hogy ez a „valamilyen szinten" eléggé megfoghatatlan és képlékeny ahhoz, hogy mindenki a neki tetszô módon értelmezze), és ebbôl már következik – jegyzi meg ismét csak Minsky –, hogy „a legegyszerûbb folyamatok között kutató entitás hamarosan olyan töredékeket fog találni, melyek nem pusztán hasonlítanak az aritmetikára, de magát az aritmetikát képezik. Egy földönkívüli tehát ugyanolyan alapigazságnak fogja elfogadni, hogy 2 + 2 = 4, mint mi, mert ennek következnie kell az ezek szerint kizárólag egyféleképpen elképzelhetô aritmetikából.
Annál furcsábbnak találnánk azonban, ha hozzánk hasonlóan ôk is a tízes számrendszert használnák, hiszen általában úgy gondoljuk, hogy ennek az elterjedése a mondjuk az ötös vagy hatvanas helyett ugyanúgy történeti okokra vezethetô vissza, mint az írógép-billentyûzet QWERTY-je. Ha pedig kiderülne, hogy hozzánk hasonlóan a földönkívüliek is az arab számokkal dolgoznak, akkor ebbôl a két számrendszer közös eredetére kellene következtetnünk, hiszen míg az aritmetikák feltételezésünk szerint azért esnek egybe, mert nem is volna lehetséges más megoldás, addig a számrendszer megválasztásánál már jóval több lehetôségünk van; az elképzelhetô matematikai szimbólumok száma pedig végtelenül nagy.
Persze elvileg elképzelhetô azért, hogy az idegenek is tízes számrendszert használnak: például amennyiben kiderülne, hogy nekik is öt-öt ujj van a kezükön – amibôl viszont akár arra is következtethetnénk, hogy ez nem a véletlen mûve, hanem valamilyen okból kifolyólag mind a négy, mind a hat ujjnál elônyösebb evolúciós szempontból az öt. Amibôl viszont az is következik, hogy a Minsky-féle megközelítési móddal legalábbis óvatosan kell bánni, hiszen nem alkalmas arra, hogy eldöntse, mik azok, amik véletlenül lettek ilyenek vagy olyanok, például a QWERTY, és mik azok, amiknek létrejöttében valamiféle mélyebb törvényszerûség fejezôdik ki.
Úgy tûnik tehát, hogy nem funkcionál valamiféle „elméleti királyvízként" a takarékossági elv – és ebbôl már az is következik, hogy más okunk nem lévén rá, ezek szerint kizárólag azért kellene az aritmetikát mintegy a priori adottnak tekintenünk, mert Minsky (Dennett-tel együtt) annak tekinti.
De akadnak további problémák is a matematika egyetemességével kapcsolatban: például az, hogy egy civilizáció esetleg elképzelhetô európai értelemben vett aritmetika nélkül is. Megtehetnénk persze, hogy az aritmetikával sem rendelkezô népeket egyszerûen nem vesszük figyelembe, de ez már csak azért sem volna célravezetô, mert a „földönkívüli civilizáció" alatt egyszerûen társadalomban élô, értelmes lényeket értünk, azt pedig nem tûnik indokoltnak feltételeznünk, hogy az európai (s Minsky által „adottnak" tekintett) aritmetika (vagyis az összeadás, a kivonás és a természetes számok alapján felépíthetô rendszer) nélkül nem létezhet sem gondolkodás, sem társadalom. Hiszen bármennyire is igaza van Bertrand Russelnek, amikor azt mondja, hogy „bizonyosan nagyon sok idôbe telt, mire felfedeztük, hogy egy fácánpárban és egy pár napban a kettes szám közös, az elvonatkoztatás ilyen magas foka minden, csak nem egyszerû", azért elképzelhetôk más, nem a számfogalmon alapuló módszerek is. Miként a kozmológus John D. Barrow említi számokkal foglalkozó könyvében (Pi in the Sky), bizonyos esetekben az ún. párképzési eljárás is tökéletesen megfelelô: ha a juhász minden, a karámból kiterelt állat után egy kavicsot dob egy edénybe, este pedig, amikor visszatérnek a legelôrôl a birkák, mindegyik után kivesz egyet-egyet, akkor a számok ismerete nélkül is meg tudja állapítani, hogy hiányzik-e valamelyik. Illetve megoldást jelenthet az a módszer is, amit éppen Galton írt le afrikai utazása során: hogy a pásztorok „személyesen" ismerik a gondjaikra bízott állatokat, és nem a nyáj megváltozott létszáma, hanem az egyed hiánya tûnik fel nekik – tehát ez esetben nincs is szükségük a számok használatára. A holland topológus, L. E. J. Brouwer a XX. század elején alapította meg a konstruktivista matematikai iskolát, mely szerint a természetes számok (vagyis az 1, 2, 3, 4... pozitív egész számok) valamiféle intuíció által adottak a számunkra, és mivel az egész matematika kiindulási pontjául szolgálnak, a matematikát konstruktív módon kell felépíteni belôlük.4 Az eddigiek alapján azonban határozottan úgy tûnik, hogy errôl még akkor sincsen szó, ha Chomsky szerint elménk különös képességének tekinthetjük, „hogy kifejlôdhetnek bennünk bizonyos matematikai fogalmak, mindenekelôtt a számrendszerek, az elvont matematikai tér, a kontinuitás stb..." Egészen biztosra vehetjük ugyanis, hogy nem az európai aritmetika a minden ember számára adott, sôt esetleg „biológiailag behuzalozott" alap, ami pedig azt a kérdést illeti, hogy kell-e egyáltalán valamiféle aritmetikával rendelkeznie egy feltételezett idegen civilizációnak, csak találgatni tudunk. És lehet, hogy a válasz végül leginkább nemleges lesz, mert miközben azt látjuk, hogy értelmes lények elképzelhetetlenek nyelv (méghozzá a kôkorszaki szinten élô törzsek esetében is a miénkhez foghatóan bonyolult és kifinomult nyelv) nélkül, addig ez a matematika esetében messze nem igaz.
Ha pedig egy értelmes lény nem lehet meg a nyelv nélkül, nincsen viszont feltétlenül szüksége matematikára, akkor ez Chomsky vélekedése ellenére is mintha azt sugallná, hogy a számolás és a matematika ugyanúgy csak egyes társadalmakban jelenik meg, mint például az írás. És bár kétségtelen, hogy egy legalább alapfokú matematikai ismeretekkel rendelkezô civilizáció magasabb katedrálisokat, jobb távcsöveket és – nem utolsósorban – hatékonyabb fegyvereket tud készíteni, ebbôl legfeljebb az következik, hogy egy matematika nélküli társadalom hosszú távon alul fog maradni vele szemben – az viszont már nem, hogy egy értelmes lényekkel benépesített bolygón feltétlenül meg fog jelenni egy sikeres technikai civilizáció. Lem Az úr hangja címû könyvében azt fejtegeti, hogy elvileg elképzelhetô olyan társadalom is, ahol a potenciális tudósokat felszívja a vallás, és így meggátolja a tevékenységüket. Kényelmes lenne azt feltételezni, hogy mivel mindig a legalkalmasabb marad fenn, elôbb-utóbb egy idegen égitesten is szükségszerûen megjelenik és uralkodóvá válik az intersztelláris kommunikációra képes technikai civilizáció – csak éppen közönséges ostobaság volna azt képzelni, hogy egy társadalmat meg egy élô szervezetet közvetlenül párhuzamba állíthatunk, és hogy volna értelme a metaforán túl is a „társadalmak" evolúciójáról meg élethalálharcáról beszélni. Úgyhogy legfeljebb reménykedhetünk, de ennek a reménynek nincsen semmiféle tudományos alapja – és matematikai még annyira sem.
Jegyzetek
1 „Ez a felfogás összhangban van azzal, mit gyakran platonizmusnak szoktak nevezni – olvasható Philip J. Davisnek és Reuben Hershnek A matematika élményérôl írott könyvében. – A matematikai platonizmus szerint a matematika az embertôl függetlenül létezik... A pi benne van az égboltban. Például ha valaki az X-9 galaxison lévô lényekkel akarna kapcsolatba lépni, akkor ezt a matematika nyelvén kellene megtennie. Nem volna értelme extragalaktikus levelezôpartnerünket családjáról, munkájáról, kormányáról vagy képzômûvészetérôl kérdeznünk, hiszen ezek a dolgok esetleg nem jelentenek számára semmit. Másfelôl ha a pi jegyeivel... stimuláljuk, biztosan válaszolni fog."
2 Egy a hôskorból származó anekdota szerint Neumann János úgy tesztelte a korai számítógépeket, hogy megpróbálta fejben gyorsabban kiszámolni az eredményt – ez egy modern elektronikus számítógép esetében egyszerûen elképzelhetetlen volna. Miközben egy mechanikus és egy elektromos számítógép mûködési elvei nem kell, hogy különbözzenek, alapvetô jelentôségû, hogy az elektromosság mérhetetlenül nagyobb mûveleti sebességet tesz lehetôvé. Igaz, olykor ennek ellenére sem tudja kiszorítani a mechanikus módszereket. A japánok még az 1990-es évek elején is elônyben részesítették a hagyományos abakuszt a fele annyiba kerülô (és mérhetetlenül gyorsabb) elektronikus zsebszámológépekkel szemben, mert míg az elôbbinél pontosan tudták, hogy mi és miért történik, az utóbbi afféle ismeretlen mûködésû fekete doboznak tûnt, amibe be kell írni a számokat, és kijön belôle az eredmény. Az Országos Abakusz Oktató Intézet Japánban a kormány jelentôs anyagi támogatásával fejlesztett mind bonyolultabb algoritmusokat.
3 Tulajdonképpen annyit érdemes csupán kikötnünk, hogy használói számára viszonylag egyszerûen kezelhetô számrendszer legyen. Nyilvánvalóan van egy határ, aminél nagyobb számrendszert már nem érdemes választani: az emberek például gyakorlatilag nem tudnának boldogulni egy olyan, tizenhétezres számrendszerrel, ahol az elsô tizenhatezer-kilencszázkilenvenkilenc számnak külön neve van. Ha tudnánk, hogy egy idegen civilizáció milyen számrendszert használ, akkor legalább néhány alapvetô következtetést levonhatnánk memóriájuk mûködésével kapcsolatban. Borgesnek Funes, az emlékezô címû novellájában a tökéletes emlékezettel rendelkezô fôhôs „kidolgozott egy eredeti számrendszert, és alig pár nap alatt túljutott a huszonnégyezren", és természetesen minden számnak más neve volt. „Hétezer-tizenhárom helyett például azt mondta, hogy Máximo Pérez; hétezer-tizennégy helyett azt, hogy A vasút... Minden szónak külön jele volt, valami védjegyféléje."
Szintén Borges említi ebben a novellájában Locke nyomán (és az egyedi nevekkel rendelkezô számokból felépülô számrendszer analógiájára) egy olyan „képtelen nyelv megalkotását, amelyben minden egyes dolognak, minden kônek, minden madárnak és minden ágnak külön neve volna".
4 Brouwer szerint minden matematikai objektumot a természetes számokból kiindulva, véges sok lépésben kell megkonstruálni, és nem elegendô annak megmutatása, hogy nemlétük feltételezése ellentmondásra vezetne. Ami persze azt jelenti, hogy a brouweri felfogás szerint a matematika jelentôs része nem fogadható el.
Észrevételeit, megjegyzéseit, kérjük, küldje el postafiókunkba: beszelo@c3.hu