Galántai Zoltán

Nyomtatóbarát változat

„Thomas Hobbes »(n)egyvenéves volt, amikor először találkozott a geometriával, mégpedig véletlenül. A könyvtárban volt, Eukleidész Elemei nyitva feküdtek az I. Könyv 47. tételénél. Elolvasta a tételt. Istenemre – mondta (a nyomaték kedvéért itt és most meg is esküdött volna rá) – ez lehetetlen! Ezután elolvasta a bizonyítást, amely visszautalt egy másik tételre, amelyet szintén elolvasott. Et sic deinceps (és így tovább), úgy, hogy is a bizonyítás meggyőzte őt a tétel igazságáról. Ez tette őt a geometria szerelmesévé.«”
(John Aubrey: Brief Lives)


A ma leginkább az „eugenika atyjaként” számon tartott Francis Galton csodagyerekként indult, unokabátyja, Charles Darwin javaslatára kezdett matematikával foglalkozni tizenkét évesen, és végül tipikus XIX. századi „kvalifikátor” vált belőle, aki mindent meg akart mérni. Többek között kiszámította, hogy mi a nagyobb munka: megkötni egy pár harisnyát vagy megfesteni egy arcképet (az udvari arcképfestőt tanulmányozva megállapította, hogy mindegyikhez kb. ugyanannyi mozdulat szükséges, vagyis egyenlőségjel tehető közéjük); hogy milyen korreláció van az angol uralkodóház egyes tagjaiért időegység alatt elmondott imák száma meg az illető várható élettartama között (azt találta, hogy fordított arányosság áll fenn: minél többet imádkoznak valakiért, valószínűleg annál rövidebb ideig fog élni); és a meteorológiai térképek mintájára összeállította Nagy-Britannia női szépségtérképét is. (A legtöbb csúnya nővel a skóciai Aberdeenben, a legtöbb széppel pedig Londonban találkozott. Arra, hogy mennyire komolyan hitt a kérdés objektív megválaszolhatóságában, mi sem jellemzőbb, mint az, hogy 1880-ra zsebben hordható, ötbillentyűs regisztráló készüléket fejlesztett ki.)

Az univerzális matematika

Az anekdotikus érdekességen túl Galtont leginkább azért érdemes itt megemlíteni, mert tökéletesen megtestesítette a számolásba, illetve a matematika mindenhatóságába – és szó szerint egyetemességébe – vetett hitet. 1896-ban például felvetette, miképpen lehetne kommunikálni a marslakókkal, illetve mit is kellene tennünk, ha egy „őrült marsi milliomos” pontokból és vonalakból álló üzenetét fognánk. A válasz mai szemmel nézve túlságosan is egyértelműnek tűnt mind neki, mind pedig a kortársainak: minden bizonnyal a matematikából kellene kiindulni, jelentette ki ugyanis Galton. Történetében az a feltételezés vezetett el a megoldáshoz, mely szerint a Vörös Bolygó lakosai tulajdonképpen „nagyra nőtt hangyák csupán, akik, lévén hat lábuk és két csápjuk, ugyanúgy a nyolcas számrendszert használják, mint ahogyan őseink a tízes számrendszerrel dolgoztak”. Az ötlet persze egyáltalán nem új, hiszen már Arisztotelész feltételezte, hogy a tízes számrendszer kézujjaink számára vezethető vissza (a valóságban persze inkább mondhatjuk azt, hogy a tíz – vagy talán az öt? – egész számú többszörösére, mivel ismert például húszas és hatvanas számrendszer is). Ám Galton nem csupán azt sugallja, hogy egy idegen civilizáció a számolást az emberhez hasonlóan bizonyos végtagok számára alapozhatja, hanem azt is (és ez sokkal fontosabb), hogy az üzenetnek matematikai alapúnak kell lennie, ha azt akarjuk, hogy más értelmes lények biztosan megérthessék.

Ezzel persze korántsem volt egyedül. Egy gyakran visszatérő XIX. századi elképzelés szerint – amit sokszor Carl Friedrich Gaussnak, a „matematikusok fejedelmének” szokás tulajdonítani – például Szibériában vagy a Szaharában kellene óriási méretekben megjeleníteni a Pithagorasz-tételt – például árkokat ásva, majd az árkokba töltött benzint éjszaka meggyújtva –, mert arról minden értelmes lény felismerné, hogy mesterséges. És hogy egy másik megoldást is említsünk: amikor 1891-ben kiírták a 100 000 frankos Pierre Guzman-díjat a földönkívüliekkel (földönkívüliek alatt leginkább a Mars-, esetleg a Vénusz-lakókat értették) való kapcsolatfelvételre, akkor ismét csak Galton azt javasolta a London Times hasábjain, hogy tükörrendszerrel kellene a napfényt a marsiak teleszkópjai felé irányítani. Igaz, a neves angol csillagász, Richard Holt Hutton azt válaszolta erre, hogy az elképzelés „a lehető legextravagánsabb”, mivel 1) a marslakók nem léteznek; 2) ha esetleg léteznének is, sem olyan fejlettek, mint gondolnánk – vagy pedig teljesen más irányú a fejlettségük; 3) és különben is: a felvillanások segítségével legfeljebb matematikai trivialitásokat üzenhetnénk nekik.

Az tehát még a végtelenül szkeptikus Hutton számára is nyilvánvalónak látszott, hogy legalább a földi és a marsi matematika alapjai között nem lehet nagy a különbség.

A helyzet a valóságban azonban bonyolultabb, mintsem szeretnénk. Egyfelől ugyanis feltételezhetjük, hogy egy olyan értelmes faj, amely nem rendelkezik viszonylag fejlett matematikával, nem lesz képes üzenetet küldeni a világűrbe (illetve fogni azt), mivel nem lesz képes előállítani a megfelelő berendezéseket sem – vagyis mintha a matematika legalábbis szükséges (de nem feltétlenül elégséges ) feltétele lenne a földi jellegű technikai civilizációnak. Másfelől pedig az is kérdéses, hogy a matematika megléte vajon szükségképpen a földi matematikát jelentené-e. A kapcsolatfelvétel legbiztosabb módjaként általában azt szokták javasolni, hogy sugározzuk ki kettes számrendszerben a pi első néhány ezer tizedesjegyét, mivel azt a földönkívüliek egészen biztosan mesterséges jelsorozatnak fogják értelmezni, ám eközben hajlamosak vagyunk elfelejtkezni arról, hogy a pi egy olyan matematikában játszik központi szerepet, amelynek nagyon is speciálisak az összetevői.[1] Az ugyanis, hogy az euklideszi geometriába mintegy „bele van építve” a körző és a vonalzó használata, történeti okokra vezethető vissza, és legalábbis nehéz – ha ugyan nem egyenesen lehetetlen – volna amellett érvelni, hogy bármely geometriában éppen a körnek, a négyzetnek meg a többi, körzővel és vonalzóval megszerkeszthető alakzatnak kell kitüntetett fontosságot tulajdonítani. De említhetnénk azt is, hogy ha az ókori görögök annak idején nem négyzetekbe, hanem háromszögekbe rendezik a számokat jelképező kavicsokat, akkor az egész matematika másképpen alakul.

És az is kérdéses, hogy egy idegen matematikának mennyire kell a mi újkori matematikánkhoz hasonlóan absztraktnak lennie. Esetleg elképzelhető volna egy olyan civilizáció, ahol az általános összefüggések megfogalmazása helyett (mint amilyen a Pithagorasz-tétel is) a konkrét megoldásokat részesítik előnyben? Az egyiptomiak például a földméréshez bizonyos ismert számpárokat használtak az a²+b²=c² összefüggés helyett, és nekünk legalábbis úgy tűnik, hogy ilyen kevéssé elvont módszerekkel sem rádióteleszkópokat, sem űrhajókat nem lenne könnyű építeni. Első lépésben tehát legfeljebb annyit mondhatunk, hogy földi értelemben vett matematika nélkül nem lehet földi értelemben vett technikai civilizációt létrehozni.

A természetes kiválasztódás matematikája

Az evolúciónak köszönhetően mindenféle számítás nélkül is meg tudjuk jósolni az eldobott kő pályáját: ez annak idején nyilvánvalóan előnyös volt a túlélés szempontjából. A természetes szelekció azonban nem hat a szintén komoly matematikai ismereteket kívánó távcsőtükör-csiszolási, a rakéta- vagy éppenséggel a katedrálisépítési képességek előmozdítása felé, és értelmetlenség is volna feltételezni, hogy ebbe az irányba hatna. És nem csupán azért értelmetlenség, mert az emberi faj létrejötte folyamán semmi nem tette szükségessé. De haladjunk sorjában.

Nem rendelkezvén a megfelelő ismeretekkel, a gótikus katedrálisokat annak idején úgy építették, hogy az építőmesterek megpróbálták megbecsülni, milyen vastagoknak kell lenniük a falaknak, majd pedig kétszer olyan vastagra csinálták – és azok sokszor még így is összedőltek. Kiindulhatnánk persze abból, hogy nincs is olyan nagy különbség egy kő röppályájának kiszámítása meg egy támpillér méretezése között, és legalábbis elvileg elképzelhetők volnának olyan körülmények, amelyekben hozzájárul a túlélési esélyek megnöveléséhez, ha a matematika segítsége nélkül is meg tudjuk állapítani a helyes arányokat. A röppálya kiszámítása mintegy biológiailag van belénk huzalozva, és azt sem szabad elfelejteni, hogy a civilizáció – ami megkívánhatná mondjuk a távcsőtükör-csiszolási képességeket, alig pár ezer éve létezik, ami elhanyagolhatóan rövid idő az ember biológiai kialakulásához képest. Azt szokás mondani, hogy biológiai értelemben legkésőbb az újkőkor óta nem változtunk, tehát nem is lehettünk volna képesek biológiailag alkalmazkodni mondjuk a túlélés előfeltételeként „távcsőépítést megkívánó” környezethez.

Csakhogy az a körülmény, hogy evolúciós értelemben előnyös volna valaminek a megléte, önmagában még nem jelent semmit: adott esetben a csimpánznak is hasznos lenne, ha pontosan tudná dobni a követ – ám ebből még nem következik, hogy képes is rá. Ha minden igaz, akkor egyszerűen nem is megfelelő hozzá az idegrendszere.

Egy John Holland nevű matematikus már az 1950-es években kidolgozta az ún. genetikus algoritmust, ami lehetővé teszi a számítástechnikában az átöröklés, illetve az átöröklésen keresztül az evolúció működésének modellezését, és a University of California (Los Angeles) számítógépén nem sokkal később létre is hoztak egy mindössze 450 bites egyedekből álló virtuális hangyakolóniát. A hangyáknak az volt a feladatuk, hogy végighaladjanak egy ösvényen, és mivel kezdetben véletlenszerű kódkészlettel rendelkeztek, ezért véletlenszerűen bolyongtak összevissza. (A szaporodás, azaz a génkészlet továbbadás „szexuális úton” történt, vagyis két egyed génjei véletlenszerűen keveredtek össze, és ehhez járultak még, egészen, mint a valóságban, a véletlen mutációk. A génkészlet határozta meg, hogy a hangya milyen útvonalat járjon végig – semmiféle érzékszerve nem volt a környezetre való reagálásra, ezért az egyetlen visszacsatolás a „természetes kiválasztás” révén történt.) A számítógép mesterséges környezete azonban mindig csak azokat az egyedeket engedte „továbbszaporodni”, amelyek a feladat megoldásában jobbak voltak a többinél, és alig 70 generáció múlva már meg is jelentek az „akadályok” kikerülésére és az „élelem” megkeresésére, illetve általában véve a feladat megoldására tökéletesen képes „bithangyák”.

Mindez elsőre talán meggyőzőnek tűnhetne – csak éppen egy akár csak kicsit is eltérő ösvény esetében kezdődhetett volna elölről az egész, a probléma megoldásáért folytatott evolúciós versenyfutás (a nem kevesebb, mint 69 sikertelen generációval), és ebből már legalábbis sejthető, hogy közelről sem mindig a kizárólag a véletlen próbálkozásokon alapuló megoldás a legjobb. Hiszen ha az lenne, akkor semmi nem tette volna célszerűvé – értsd: evolúciósan előnyössé – a vak találgatásnál mérhetetlenül rugalmasabb, saját hibáiból is tanulni képes értelem bevezetését. Semmi okunk nincsen azt képzelni, hogy bármilyen szempontból hatékonyabb volna az értelemnél valamiféle „katedrálisépítő ösztön”.

Stanislaw Lem, az ismert lengyel sci-fi író és teoretikus az „evolúció mindenre képes, csak hagyjunk neki elég időt” logikán gúnyolódva egy bizonyos R. Gulliver fiktív esetét említi, aki jövőbelátó baktériumtenyészetet hozott volna létre. „A probléma mindössze abban áll – írja Lem –, hogyan kényszerítsük a baktériumokat az angoltanulásra, hogyan tegyük az angol nyelv elsajátítását [számukra] a túléléshez nélkülözhetetlenné. Olyan helyzetet kell teremteni, amelyből csak két lehetőség következik: vagy megtanultok írni, vagy elpusztultok.” Lem hőse tehát olyan körülményeket hozott létre, ahol a táptalajra nyelvtanilag helyes szövegeket író kolóniák fennmaradtak, azok azonban, aki hibáztak, nem – a következő lépésben pedig már az volt a szelekciós tényező, hogy mennyire képesek előre jelezni a jövőt. Csak a jövőben bekövetkező eseményeket helyesen leíró tenyészetek fejlődhettek tovább.

Ám a valóságban semmi nem szól amellett, hogy létezhetnek egyáltalán ilyen, a „jövőbelátási képességekkel” rendelkező baktériumok, és egyáltalán: a valóságban nagyon is le vannak határolva az evolúciós lehetőségek. Miközben egy „genetikai létra” fokain végighaladva nyilvánvaló, hogy sok, ámde véges számú lépésben el lehet jutni az embertől a kolibriig vagy a tonhalig, vagyis elvileg annak sem volna akadálya, hogy az embert megfelelő genetikai manipulációkkal ezek egyikévé változtassuk, aközben feltételezhetjük ugyan, hogy a madarak szárnya, a kéz és az uszony azonos eredetűek, ám semmi nem garantálja, hogy létezik olyan génkombináció, ami a kolibriszárnyakkal vagy uszonyokkal rendelkező embert eredményezné. Ebből már egyenesen következik, hogy a genetikai lehetőségek meg a végtelen számú matematikai lehetőség tere lefedik egymást. A matematikailag lehetséges változatok közül viszont korántsem mindegyik lehetséges a gyakorlatban is – gondoljunk csak például a QWERTY-jelenségre. Az írógép megjelenésekor ezt a gépelés szempontjából különösen előnytelen billentyűkombinációt éppen azért alakították ki, hogy lelassítsák a titkárnőket – máskülönben – ha a leggyakoribb betűket rakják egymás mellé – állandóan összeakadtak volna a betűkarok. Ma erre a korlátozásra nyilvánvalóan semmi szükség nincsen, az 1870-es évek vége óta megjelent újabb és újabb írógép-generációk azonban mindig örökölték ezt a kialakítást, és a számítógép billentyűzete is ilyen, noha a gépben már nincs minek összeakadnia. (A lényegesen logikusabb felépítésű Dvorak-billentyűzet azonban sehogy sem tudott elterjedni. Legalábbis figyelemre méltó, hogy az elvileg – mondhatni „evolúciósan” – előnyösebb megoldás történeti okokból maradt alul, miközben hajlamosak volnánk az evolúció egy határozottan naiv és vulgáris verziója szerint azt képzelni, hogy „a jobbnak kell fennmaradnia”, mert miért is akadna titkárnő, aki a munkáját hátráltató billentyűzetkiosztást választja.) Az előtörténet nyilvánvalóan még ilyen szélsőségesen „ésszerűtlen” esetekben is meghatározza a leszármazást, és ha ezt a genetikára alkalmazzuk, akkor nem lesz nehéz belátnunk, hogy miért olyan kevés elvileg elképzelhető változtatás lehetséges a valóságban.

És ebből már egyenesen következik az is, hogy önmagában sem a „lehetségesség”, sem az „ésszerűség” nem elegendő, és ha megpróbáljuk kitalálni, hogy milyen is lehet a földönkívüliek matematikája, akkor nagyon is vigyáznunk kell az általánosításokkal. Elvégre ennek a matematikának az előtörténetét azon egyszerű oknál fogva nem vehetjük figyelembe, merthogy nem tudhatjuk, mi is volt az valójában.

És mivel ez az esetlegesség mindenütt szerepet játszhat, ezért hiba volna a földi matematika kialakulásában valamiféle szükségszerűséget látni. Vagy a földi matematikára épülő technikai civilizációban – és ebből már az is következik, hogy néhány véletlenen múlt, hogy nem történt máshogyan az egész.

Innentől kezdve aztán indokolatlan is volna egy olyan, a matematikán alapuló technikai civilizáció felbukkanásában reménykedni, ami eléggé hasonlít a miénkhez ahhoz, hogy fel tudjuk venni vele a kapcsolatot. A földi, az esetleges földönkívüliekkel kapcsolatot kiépíteni képes technika (természetesen az európai eredetű technikára gondolunk) teljes mértékben a különböző, többé-kevésbé „véletlen sodródások” révén létrejött számítástechnikán – méghozzá az elektromosságot használó számítástechnikán – alapul,[2] és semmi sem garantálja, hogy ugyanez másutt is megjelenik: egy értelmes lények alkotta civilizációról nagyon is elképzelhető, hogy nem lesz földi jellegű, matematikán – és számítástechnikán – alapuló technikai civilizáció.

A kérdés tehát egyfelől immár az, hogy milyen körülmények vezettek a ránk jellemző, nagyon is specifikus matematikai felfogás kialakulásához. Másfelől pedig az, hogy milyen szinten kötődik az értelem a matematikához.

Aritmetika, számolás, matematika

Marvin Minsky, a mesterséges intelligencia szakértője egy helyütt azt kérdezte, hogy „miért lesznek érthetőek az értelmes idegenek”, majd pedig arra a kérdésre vezette vissza a problémát, hogy vajon létezhetnek-e a földitől eltérő (ám ugyanolyan jó) aritmetikaszerű, számolásra szolgáló rendszerek, és végül arra a következtetésre jut, hogy semmi meglepő nem volna benne, ha a földönkívüliek is a miénkhez hasonló matematikát használnának. Ez első hallásra olyan, mintha csupán felújított változata lenne Galton hitének, miszerint a matematika egyetemes elveken nyugszik. Számunkra azonban most leginkább az az érdekes, hogy milyen – nagyon is implicit és ennek ellenére nagyon is hangsúlyos – feltételezések is rejlenek mögötte.

„Takarékossági elv: amennyiben két viszonylag egyszerű folyamatnak hasonló végtermékei vannak – mondja Minsky –, úgy ezek a végtermékek nagy valószínűséggel tökéletesen azonosak!” Méghozzá azért, mert a legtöbb, „matematikailag lehetséges” folyamat egyszerűen nem csinál semmit. Tehát ha nem egyszerűen működnek, de ugyanúgy működnek – teszi hozzá az evolúcióbiológus Daniel C. Dennett –, úgy biztosak lehetünk benne, hogy ez nem véletlen egybeesés, hanem azért van így, mert a két folyamat „valamilyen szinten” azonosnak tekinthető (más kérdés persze, hogy ez a „valamilyen szinten” eléggé megfoghatatlan és képlékeny ahhoz, hogy mindenki a neki tetsző módon értelmezze), és ebből már következik – jegyzi meg ismét csak Minsky –, hogy „a legegyszerűbb folyamatok között kutató entitás hamarosan olyan töredékeket fog találni, melyek nem pusztán hasonlítanak az aritmetikára, de magát az aritmetikát képezik. Egy földönkívüli tehát ugyanolyan alapigazságnak fogja elfogadni, hogy 2 + 2 = 4, mint mi, mert ennek következnie kell az ezek szerint kizárólag egyféleképpen elképzelhető aritmetikából.

Annál furcsábbnak találnánk azonban, ha hozzánk hasonlóan ők is a tízes számrendszert használnák, hiszen általában úgy gondoljuk, hogy ennek az elterjedése a mondjuk az ötös vagy hatvanas helyett ugyanúgy történeti okokra vezethető vissza, mint az írógép-billentyűzet QWERTY-je. Ha pedig kiderülne, hogy hozzánk hasonlóan a földönkívüliek is az arab számokkal dolgoznak, akkor ebből a két számrendszer közös eredetére kellene következtetnünk, hiszen míg az aritmetikák feltételezésünk szerint azért esnek egybe, mert nem is volna lehetséges más megoldás, addig a számrendszer megválasztásánál már jóval több lehetőségünk van; az elképzelhető matematikai szimbólumok száma pedig végtelenül nagy.

Persze elvileg elképzelhető azért, hogy az idegenek is tízes számrendszert használnak: például amennyiben kiderülne, hogy nekik is öt-öt ujj van a kezükön – amiből viszont akár arra is következtethetnénk, hogy ez nem a véletlen műve, hanem valamilyen okból kifolyólag mind a négy, mind a hat ujjnál előnyösebb evolúciós szempontból az öt. Amiből viszont az is következik, hogy a Minsky-féle megközelítési móddal legalábbis óvatosan kell bánni, hiszen nem alkalmas arra, hogy eldöntse, mik azok, amik véletlenül lettek ilyenek vagy olyanok, például a QWERTY, és mik azok, amiknek létrejöttében valamiféle mélyebb törvényszerűség fejeződik ki.

Úgy tűnik tehát, hogy nem funkcionál valamiféle „elméleti királyvízként” a takarékossági elv – és ebből már az is következik, hogy más okunk nem lévén rá, ezek szerint kizárólag azért kellene az aritmetikát mintegy a priori adottnak tekintenünk, mert Minsky (Dennett-tel együtt) annak tekinti.

De akadnak további problémák is a matematika egyetemességével kapcsolatban: például az, hogy egy civilizáció esetleg elképzelhető európai értelemben vett aritmetika nélkül is. Megtehetnénk persze, hogy az aritmetikával sem rendelkező népeket egyszerűen nem vesszük figyelembe, de ez már csak azért sem volna célravezető, mert a „földönkívüli civilizáció” alatt egyszerűen társadalomban élő, értelmes lényeket értünk, azt pedig nem tűnik indokoltnak feltételeznünk, hogy az európai (s Minsky által „adottnak” tekintett) aritmetika (vagyis az összeadás, a kivonás és a természetes számok alapján felépíthető rendszer) nélkül nem létezhet sem gondolkodás, sem társadalom. Hiszen bármennyire is igaza van Bertrand Russelnek, amikor azt mondja, hogy „bizonyosan nagyon sok időbe telt, mire felfedeztük, hogy egy fácánpárban és egy pár napban a kettes szám közös, az elvonatkoztatás ilyen magas foka minden, csak nem egyszerű”, azért elképzelhetők más, nem a számfogalmon alapuló módszerek is. Miként a kozmológus John D. Barrow említi számokkal foglalkozó könyvében (Pi in the Sky), bizonyos esetekben az ún. párképzési eljárás is tökéletesen megfelelő: ha a juhász minden, a karámból kiterelt állat után egy kavicsot dob egy edénybe, este pedig, amikor visszatérnek a legelőről a birkák, mindegyik után kivesz egyet-egyet, akkor a számok ismerete nélkül is meg tudja állapítani, hogy hiányzik-e valamelyik. Illetve megoldást jelenthet az a módszer is, amit éppen Galton írt le afrikai utazása során: hogy a pásztorok „személyesen” ismerik a gondjaikra bízott állatokat, és nem a nyáj megváltozott létszáma, hanem az egyed hiánya tűnik fel nekik – tehát ez esetben nincs is szükségük a számok használatára. A holland topológus, L. E. J. Brouwer a XX. század elején alapította meg a konstruktivista matematikai iskolát, mely szerint a természetes számok (vagyis az 1, 2, 3, 4... pozitív egész számok) valamiféle intuíció által adottak a számunkra, és mivel az egész matematika kiindulási pontjául szolgálnak, a matematikát konstruktív módon kell felépíteni belőlük.[4] Az eddigiek alapján azonban határozottan úgy tűnik, hogy erről még akkor sincsen szó, ha Chomsky szerint elménk különös képességének tekinthetjük, „hogy kifejlődhetnek bennünk bizonyos matematikai fogalmak, mindenekelőtt a számrendszerek, az elvont matematikai tér, a kontinuitás stb...” Egészen biztosra vehetjük ugyanis, hogy nem az európai aritmetika a minden ember számára adott, sőt esetleg „biológiailag behuzalozott” alap, ami pedig azt a kérdést illeti, hogy kell-e egyáltalán valamiféle aritmetikával rendelkeznie egy feltételezett idegen civilizációnak, csak találgatni tudunk. És lehet, hogy a válasz végül leginkább nemleges lesz, mert miközben azt látjuk, hogy értelmes lények elképzelhetetlenek nyelv (méghozzá a kőkorszaki szinten élő törzsek esetében is a miénkhez foghatóan bonyolult és kifinomult nyelv) nélkül, addig ez a matematika esetében messze nem igaz.

Ha pedig egy értelmes lény nem lehet meg a nyelv nélkül, nincsen viszont feltétlenül szüksége matematikára, akkor ez Chomsky vélekedése ellenére is mintha azt sugallná, hogy a számolás és a matematika ugyanúgy csak egyes társadalmakban jelenik meg, mint például az írás. És bár kétségtelen, hogy egy legalább alapfokú matematikai ismeretekkel rendelkező civilizáció magasabb katedrálisokat, jobb távcsöveket és – nem utolsósorban – hatékonyabb fegyvereket tud készíteni, ebből legfeljebb az következik, hogy egy matematika nélküli társadalom hosszú távon alul fog maradni vele szemben – az viszont már nem, hogy egy értelmes lényekkel benépesített bolygón feltétlenül meg fog jelenni egy sikeres technikai civilizáció. Lem Az úr hangja című könyvében azt fejtegeti, hogy elvileg elképzelhető olyan társadalom is, ahol a potenciális tudósokat felszívja a vallás, és így meggátolja a tevékenységüket. Kényelmes lenne azt feltételezni, hogy mivel mindig a legalkalmasabb marad fenn, előbb-utóbb egy idegen égitesten is szükségszerűen megjelenik és uralkodóvá válik az intersztelláris kommunikációra képes technikai civilizáció – csak éppen közönséges ostobaság volna azt képzelni, hogy egy társadalmat meg egy élő szervezetet közvetlenül párhuzamba állíthatunk, és hogy volna értelme a metaforán túl is a „társadalmak” evolúciójáról meg élethalálharcáról beszélni. Úgyhogy legfeljebb reménykedhetünk, de ennek a reménynek nincsen semmiféle tudományos alapja – és matematikai még annyira sem.

Jegyzetek

[1] „Ez a felfogás összhangban van azzal, mit gyakran platonizmusnak szoktak nevezni – olvasható Philip J. Davisnek és Reuben Hershnek A matematika élményéről írott könyvében. – A matematikai platonizmus szerint a matematika az embertől függetlenül létezik... A pi benne van az égboltban. Például ha valaki az X-9 galaxison lévő lényekkel akarna kapcsolatba lépni, akkor ezt a matematika nyelvén kellene megtennie. Nem volna értelme extragalaktikus levelezőpartnerünket családjáról, munkájáról, kormányáról vagy képzőművészetéről kérdeznünk, hiszen ezek a dolgok esetleg nem jelentenek számára semmit. Másfelől ha a pi jegyeivel... stimuláljuk, biztosan válaszolni fog.”

[2] Egy a hőskorból származó anekdota szerint Neumann János úgy tesztelte a korai számítógépeket, hogy megpróbálta fejben gyorsabban kiszámolni az eredményt – ez egy modern elektronikus számítógép esetében egyszerűen elképzelhetetlen volna. Miközben egy mechanikus és egy elektromos számítógép működési elvei nem kell, hogy különbözzenek, alapvető jelentőségű, hogy az elektromosság mérhetetlenül nagyobb műveleti sebességet tesz lehetővé. Igaz, olykor ennek ellenére sem tudja kiszorítani a mechanikus módszereket. A japánok még az 1990-es évek elején is előnyben részesítették a hagyományos abakuszt a fele annyiba kerülő (és mérhetetlenül gyorsabb) elektronikus zsebszámológépekkel szemben, mert míg az előbbinél pontosan tudták, hogy mi és miért történik, az utóbbi afféle ismeretlen működésű fekete doboznak tűnt, amibe be kell írni a számokat, és kijön belőle az eredmény. Az Országos Abakusz Oktató Intézet Japánban a kormány jelentős anyagi támogatásával fejlesztett mind bonyolultabb algoritmusokat.

[3] Tulajdonképpen annyit érdemes csupán kikötnünk, hogy használói számára viszonylag egyszerűen kezelhető számrendszer legyen. Nyilvánvalóan van egy határ, aminél nagyobb számrendszert már nem érdemes választani: az emberek például gyakorlatilag nem tudnának boldogulni egy olyan, tizenhétezres számrendszerrel, ahol az első tizenhatezer-kilencszázkilenvenkilenc számnak külön neve van. Ha tudnánk, hogy egy idegen civilizáció milyen számrendszert használ, akkor legalább néhány alapvető következtetést levonhatnánk memóriájuk működésével kapcsolatban. Borgesnek Funes, az emlékező című novellájában a tökéletes emlékezettel rendelkező főhős „kidolgozott egy eredeti számrendszert, és alig pár nap alatt túljutott a huszonnégyezren”, és természetesen minden számnak más neve volt. „Hétezer-tizenhárom helyett például azt mondta, hogy Máximo Pérez; hétezer-tizennégy helyett azt, hogy A vasút... Minden szónak külön jele volt, valami védjegyféléje.”

Szintén Borges említi ebben a novellájában Locke nyomán (és az egyedi nevekkel rendelkező számokból felépülő számrendszer analógiájára) egy olyan „képtelen nyelv megalkotását, amelyben minden egyes dolognak, minden kőnek, minden madárnak és minden ágnak külön neve volna”.

[4] Brouwer szerint minden matematikai objektumot a természetes számokból kiindulva, véges sok lépésben kell megkonstruálni, és nem elegendő annak megmutatása, hogy nemlétük feltételezése ellentmondásra vezetne. Ami persze azt jelenti, hogy a brouweri felfogás szerint a matematika jelentős része nem fogadható el.

• Kultúra