Galántai Zoltán

Nyomtatóbarát változat

„…az ortográfiai jelek száma huszonöt.
E megállapítás lehetővé tette, hogy háromszáz évvel ezelőtt megalkossák a Könyvtár általános elméletét, és megnyugtató módon megoldják az addig megfejthetetlennek látszó problémát, azt, hogy szinte valamennyi könyv kaotikus zagyvaság.”
(Jorge Luis Borges: A titkos csoda)

Az Enigma, avagy az első feltörhetetlen kód feltörése

Dr. Arthur Scheribus, az Enigma nevű német rejtjelezőgép megalkotója az 1920-as évek elején úgy becsülte, hogy ha 1000 kriptoanalitikus mindegyikének rendelkezésére állna egy Enigma, és mindegyikük percenként 4 kulcsot próbálna ki a nap minden percében, akkor is 1,8 milliárd évre volna szükség az összes lehetséges kód végigpróbálásához, vagyis az Enigma, ha elméletileg nem is, de gyakorlatilag feltörhetetlen. Persze a német hadsereg által bevezetett titkosítási rendszer a valóságban közelről sem volt az, és bár minden bizonnyal túlzás volna azt állítani, hogy az Enigmán múlt a II. világháború sorsa, a dolog kétségkívül nagy jelentőséggel bírt.[1]

Különösen, ha az egész történetből a földönkívüli civilizációk keresésével kapcsolatban levonható következtetéseket is figyelembe vesszük. De haladjunk sorjában.

A lengyelek még közvetlenül az I. világháború utáni években – legalább részben persze a szovjetek által jelentett fenyegetéssel szemben – egy meglepően hatékonyan működő hivatalt hoztak létre Biuro Szyfrów (kb. „titkosírási hivatal”) néven, és a hivatal akkori vezetője az a Franciszek Pokorny volt, aki már korábban arra a következtetésre jutott, hogy egyfelől az egyre nagyobb mennyiségű üzenettel párhuzamosan a titkosítási módszerek is mechanizálódni kezdenek (és míg korábban a papír és a toll bőven elég volt, addig most a gépek is egyre nagyobb szerepet játszanak), másfelől pedig a különféle titkosítások megfejtéséhez a jövőben nem annyira a klasszikus műveltségű nyelvészek és filológusok, mint inkább a matematikusok segítségére lesz szükség, mivel a kódok immár nem a szavakra, hanem az egyes betűkre[2] vonatkoznak.

Pokorny legtehetségesebb tanítványa, Marian Rejewski 1932-re képes volt az Enigmának legalább egyes üzeneteit elolvasni. Ami persze nem a titkosírás-fejtés eddig egyik legjelentősebb, bár korántsem teljes sikere miatt érdekes, hanem azért, mert a megfejtést egyrészt az segítette, hogy az Enigma „rotorjait” (a betűket tartalmazó tárcsákat) a pontos vételhez feltétlenül szükséges módon megfelelő helyzetbe állítandó – és az esetleges „elkonvertálódásokat” (vagyis ferdüléseket) kiküszöbölendő – az üzenet kezdeteként mindig ugyanazt a hat betűt, a minden jelentés nélküli „PDQPDQ”-t sugározták, ami persze a különböző, éppen alkalmazott kulcsoknak megfelelően ugyanúgy kiadhatta az „MRAXXT”, mint a „XYULKO” jelsorozatot is.

Másfelől pedig az is sokat számított, hogy akadt egy áruló a németek között, egy bizoyos Hans-Thilo Schmidt, aki 44 évesen új életet akarván kezdeni, egymás után eladta a birtokában lévő titkokat (beleértve az ismétlődő jelsorozatra vonatkozó ismereteit is) a franciáknak, akik aztán mindent továbbítottak a lengyeleknek. Miként egy helyütt Rejewski is megjegyzi, az Enigma akár csak részleges feltörése is kizárólag azáltal vált lehetségessé, hogy sikerült bizonyos „kívülről”, nem pedig magából a rejtjelezett szövegből származó információkhoz is hozzájutni. Vagyis a redundancia: az a bizonyos állandóan ismétlődő karaktersorozat megléte mellett egy olyan tudás is alapvető szerepet játszott, amelyet viszont nem lehetett pusztán az adott jelsorozatból visszafejteni.

Úgyhogy ha most megpróbáljuk ezt az esetet a földönkívüliekkel folytatott, nagyon is hipotetikus kommunikáció egyik lehetséges, fordított modelljének tekinteni, ahol a feladat éppen az Enigmáéval ellentétes (vagyis az adott körülmények között a lehető legbiztosabbnak kell lennünk abban, hogy üzenetünk a lehető legegyszerűbben és legkézenfekvőbben visszafejthető), úgy kétségkívül arra a következtetésre kell jutnunk, hogy miközben szükségünk van az elképzelhető legnagyobb mértékű redundanciára, aközben ez önmagában még korántsem lesz elég. Kell majd valamiféle, a jelsorozaton túlmutató értelmezést lehetővé tevő közös kiindulási pont is – valami olyasmi, ami egyaránt közös a mi tudásunkban és az idegenekében.

Elvégre éppen a redundancia és azok a bizonyos, kívülről származó információk tették lehetővé az Enigma feltörését is.

Ami a földönkívülieknek szóló üzenetet illeti, elsőre persze legalábbis kérdéses, hogy mi is lehet ez a számukra és számunkra egyaránt közös elem. A szovjet rádiócsillagász, B. I. Panovkin egy SETI-konferencián annak idején egyenesen azt állította, hogy „élesen fogalmazva: nem tudunk megkülönböztetni egy szimbolikus (vagyis jel)rendszert egy nem szimbolikustól… nincsen olyan elszigetelt szimbólumrendszer, amelyet meg lehetne érteni pusztán magából a szimbólumrendszerből kiindulva; lehetetlen megállapítani a szimbólumok egymáshoz való viszonyát… Ez alapvetően korlátozza az összes olyan, intersztelláris nyelvvel való kísérletet, mint amilyen a LINCOS.” Amennyiben azt reméljük, hogy valamikor mégis képesek leszünk majd felvenni a kapcsolatot – legalábbis bizonyos – földönkívüli civilizációkkal, úgy legfeljebb abban bízhatunk, hogy miközben Panovkinnak minden bizonnyal igaza van, aközben azt azért ő sem állítja, hogy bármilyen körülmények között lehetetlen a kapcsolatfelvétel.

Egy látszólagos kitérő: a matematikától a matematikákig

A híres lengyel sci-fi író, Stanislaw Lem Az Úr hangja című regényében[3] azt mondja, hogy „a »mesterséges« és a »természetes« közötti különbség nem teljesen objektív, nem abszolúte adott, hanem viszonylagos, és az alkalmazott vonatkoztatási rendszertől függ. Az élő szervezetek anyagcseretermékeit természetes képződményeknek szokás tekinteni. Ha nagyon sok cukrot eszem, a fölösleget a veséim kiválasztják. Mármost az, hogy a vizeletemben levő cukor »mesterséges« vagy »természetes«, az én intenciómtól függ. Ha szándékosan ettem annyi cukrot, hogy a vizeletemben megjelenjen, mert ismerem a jelenség mechanizmusát, és előre láttam cselekményem következményeit, akkor a cukor jelenléte »mesterséges« lesz, de ha csak azért ettem cukrot, mert ízlett, akkor jelenléte »természetes«.”

A kérdés tehát leginkább az, hogy miről ismerhetjük fel az idegen civilizációt, illetve az által a küldött jeleket: mi alapján dönthetjük el, hogy természetesek-e, vagy mesterségesek, és a legcélszerűbb talán abból kiindulni, hogy mi milyen jeleket sugároznánk az idegenek felé, ha azt akarnánk, hogy ők is képesek legyenek azokat felismerni – vagyis, hogy mik is azok az elemek, melyeknek (szerintünk) minden számításba jöhető civilizációban jelen kell lenniük.[4] Második lépésben pedig arra kell választ találnunk, hogy miként, milyen formában lehet ezt úgy kisugározni, hogy minden potenciális címzett képes legyen elkülöníteni a kozmikus zajoktól.

És ha ez sikerül, akkor ezzel Panovkint mintegy kijátszhatjuk, hiszen amennyiben meg tudunk fogalmazni egy olyan üzenetet, amiről „minden értelmes lény számára nyilvánvaló”, hogy üzenet (és jobb esetben az is, hogy mit tartalmaz), akkor a jelek kultúrafüggetlensége ellenére is megvan a kulcs, és ezt az üzenetet a továbbiakban afféle „PDQPDQ”-ként, a német Enigma kezdő-karaktersorozataként használhatjuk (illetve használhatják az idegenek) a visszafejtéshez.

A dolog persze egyáltalán nem lesz egyszerű

A SETI-vel[5] foglalkozó kutatók egyik kedvenc előfeltevése, hogy például egy, a prímszámokra épülő rendszer[6] tökéletesen megfelelő megoldás, és ezzel implicit módon bár, de azt is feltételezik, hogy minden civilizáció a miénkhez hasonló matematikával rendelkezik. Mivel azonban a prímszám fogalma az osztáson alapul, és mivel elképzelhetőek olyan matematikák is, ahol az osztás nem szerepel, ezért ez annyiban mindenképpen támadható előfeltevés, hogy az értelem és a prímszámok ismerete közé nem tehetünk automatikusan egyenlőségjelet: korábban is voltak (sőt talán még ma is vannak) a Földön olyan kultúrák, melyek képtelenek lennének egy prímszámokra alapuló üzenetet visszafejteni, mivel egyszerűen nem ismerik a prímek fogalmát. Komoly hiba volna a mi birtokunkban lévőt az egyetlen lehetséges és abszolút matematikának tekinteni, és ami azt illeti, a látszattal ellentétben a földi matematika sem egységes.

„A matematika alapjairól szóló modern vitában – írja Davis és Hersh a matematika élményéről szóló könyvükben – három visszatérő dogma bukkan elő: a platonizmus, a formalizmus és a konstruktivizmus.” Az első szerint a matematikai objektumok valósak, és attól függetlenül léteznek, hogy mit tudunk róluk – vagyis a matematikus tulajdonképpen nem kitalálja, hanem felfedezi a törvényszerűségeket,[7] és „a platonizmus szerint a matematikus empirikus tudós, akárcsak a geológus”.

A formalisták viszont úgy gondolják, hogy „egyáltalán nincsenek is matematikai objektumok. A matematika csak axiómákból, definíciókból és tételekből áll, azaz formulákból. Egy szélsőséges nézet szerint csak szabályok vannak, amelyek segítségével az egyik formulát levezethetjük a másikból, de maguk a formulák nem szólnak semmiről sem, csak szimbólumok sorozatai”, olvasható a fentebb már említett szerzőpárosnál.

A két tábor közötti vitára még azt lehetne mondani, hogy kizárólag a matematikusok magánügye, hogy hová tartozónak vallják magukat, hiszen így is, úgy is ugyanazt értik a matematikai bizonyítás alatt. A helyzet azonban rögtön más lesz, ha figyelembe vesszük azt az L. E. J. Brouwer nevéhez fűződő konstruktivista irányzatot is, mely szerint „a természetes számok egy alapvető intuíció révén adottak a számunkra”, és így az egész matematikát véges sok lépésben, konstruktívan kell felépíteni belőlük.[8]

Ekkor viszont a „hagyományos” matematika számos tétele egyszerűen nem lesz bizonyítható (például a trichotómia törvénye sem, mely szerint minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla), és David Hilbert, a XX. század egyik legnagyobb matematikusa egyenesen arról panaszkodott, hogy Brouwer hívei „arra törekszenek, hogy oly módon mentsék meg a matematikát, hogy mindent kidobnak, ami csak bajt okozhat… Felaprítanák és összekaszabolnák a tudományt.” És ami még ennél is nagyobb baj: ezek szerint lényegében az ízlés, a tradíció vagy a személyes meggyőződés dönti el, hogy a formalista-platonista vagy a brouwerista matematikát fogadjuk-e el, hiszen ezeken túl nincsen semmiféle közös alap vagy „magasabb szempont”, amelynek segítségével a „jobbat” és „igazabbat” választhatnánk. Ha pedig ugyanolyan bátran választhatjuk (az újkori matematika jelentős részét érvénytelennek tekintő) konstruktivizmust, mint a platonizmust, akkor talán már az is elképzelhető, hogy egyfajta „metamatematika” keretében számtalan más, a fentebbiektől eltérő alapokon nyugvó matematikát is létre lehet hozni, és idáig jutva már nem nehéz belátni, hogy a mi matematikánk is önkényes[9] választásokon alapuló fejlődés eredménye.

Akárcsak a feltételezett földönkívülieké.

A matematika szűrője és a LINCOS

Persze még mindig próbálhatnánk azzal érvelni, hogy egy magasan fejlett civilizációnak[10] – bármilyen alapokra is építse matematikáját – szüksége van a számolásra, hiszen máskülönben képtelen volna a mindennapi életben például a méréssel kapcsolatos problémák megoldására, de ebből még mindig nem következik semmi. Egy adott matematikán belül ugyanis például a számoknak nincsenek „eleve adott” tulajdonságaik – ez persze nem platonista álláspont –, hanem minden attól függ, hogy mi milyen tulajdonságokat kreálunk meg, illetve tartunk fontosnak. Például a világűrből érkező jelekként egy 168 darab 0-ból és 1-ből álló sorozatot fogva, és feltételezve, hogy ezeket megfelelően sorrendbe állítva egy „képet” kapunk, nem valószínű, hogy el tudnánk dönteni: 14 x 12, 6 x 28 vagy 3 x 56 stb. oldalú téglatestet állítsunk-e össze – hacsak nem vagyunk járatosak az ókori görög matematikában. Pithagorasz számára azonban első ránézésre nyilvánvaló lett volna, hogy a 6 x 28 a helyes megoldás – ezek ugyanis ún. tökéletes számok, mivel osztóik összege magukat a számokat adja ki (1 + 2 + 3 = 6 és 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Elvileg nyugodtan elképzelhető egy olyan forgatókönyv is, amelyben nem a prímszámok játszanak kitüntetett szerepet (miként a modern matematikában), hanem mondjuk a tökéletes számok.[11]

Úgyhogy ha biztosra akaruk menni, akkor legfeljebb az összeadásra és a kivonásra építhetünk – ezek nélkül ugyanis tényleg elképzelhetetlen egy technikai civilizáció. Márpedig nyilvánvaló, hogy mi ilyet keresünk: eljátszhatnánk ugyan a gondolattal, hogy esetleg léteznek olyan társadalmak is, ahol egy, a rádiójelek fogására alkalmas készüléket nem megterveznek és alkatrészekből összeraknak, ahogyan mi tesszük, hanem genetikai módosításokkal egy élő szervezetből mintegy kitenyésztik azt, és eközben még az összeadást és a kivonást sem ismerik – de egy ilyen feltételezésnek a mi szempontunkból nem sok értelme volna. Ahhoz ugyanis, hogy értelmezni lehessen a rádióhullámok által szállított információkat (amelynek a vételére elvileg ez az organikus rádióteleszkóp[12] is szolgálna), mindenképpen szükség van legalább valami minimális matematikai apparátusra. Tehát számunkra, akik viszont a rádióhullámok segítségével – és persze valamiféle matematikát használva – akarunk kommunikálni velük, olyanok ezek az idegenek, mintha nem is léteznének.

Itt tehát maga a közlés módja szolgál szűrőként: aki nem értené, az észre se veszi, hogy üzenetet kapott, és fordítva: ha eléggé ügyesen kódoljuk a mondandónkat, akkor pusztán az a tény, hogy valaki képes volt fogni, egyben azt is jelenti, hogy képes lesz visszafejteni. Ugyanis csupán akkor jut el hozzá, ha a miénkhez bizonyos tekintetben hasonló civilizációban él: olyanban, amely használja az elemi matematikát, és emellett képes a mi eszközeinkhez hasonló berendezéseket létrehozni, hogy foghassa az üzenetet. És ez már afféle kozmikus kódtörő „PDQPDQ”-ként is szolgálhat, és ezért hiába van igaza Panovkinnak a kultúrafüggetlen – és ennek megfelelően „kívülállók” számára megfejthetetlen – jelekkel kapcsolatban. Itt ugyanis két, nem nagyon különböző civilizáció akar kommunikálni egymással.

Amihez persze egy-két további szabályt is be kell tartanunk, hogy sikerrel járhassunk. Egy Hans Freudenthal nevű holland kutató 1960-ban tette közzé tanulmányát az „univerzális matematikai nyelvről”, vagyis a LINCOS-ról (Design of a Language for Cosmic Intercourse), amely eleinte mintha egy alapfokú aritmetika-kurzus lenne: előbb egyetlen impulzust adunk le, majd némi szünet után kettőt, aztán megint szünet és három stb. egészen addig, amíg (remélhetőleg) minden értelmes és aritmetikát használó lény számára egyértelműen ki nem derül, hogy itt az egymást követő, pozitív, egész számokról van szó. Utána a „számok kódja” következik, vagyis egy impulzus, az egyenlőségjel és a LINCOS által használt egyes szám jele; két impulzus, egyenlőségjel, a kettes szám jele stb. Majd pedig az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás; és hamarosan sor kerül a természetes logaritmusra meg a hírhedt pi-re is…

Sőt, Freudenthal egy idő után megpróbálja más „emberi képességekkel” együtt a „gondolkodásra való képesség” fogalmát is bevezetni. Az absztrakt A szereplő azt kérdezi az absztrakt B-től, hogy mennyi 2 + 3, és B azt válaszolja, hogy 5, A pedig azt mondja B-nek, hogy helyes. Majd feltűnik C is: A azt kérdezi B-től, hogy mennyi 15 x 15, amire B helytelen, C viszont helyes választ ad – és máris következik a konklúzió: „C okosabb, mint B”. Ami persze legfeljebb az egyik lehetséges olvasat, és arra valószínűleg még akkor is hiába számítanánk, hogy az idegenek éppen erre a következtetésre jutnak, ha miként I. Sz. Sklovszkij, a földönkívüliek létével foglalkozó első könyvet megíró szovjet csillagász fogalmaz, „a levelező előbb-utóbb megérti, hogy ezekben az adásokban nem matematikáról van szó (ez már volt, és a példák kirívóan naivak). Ez színház, ez előadás. S ha már így van, felmerülnek olyan fogalmak, mint az érzelem, a magatartás.”

Sklovszkij persze túlságosan is földi kategóriákban gondolkodik – és ez a problémáknak még mindig legfeljebb az egyik fele. A többi probléma abból adódik, hogy a Freudenthal-féle üzenet túlságosan is hasonlít az Enigma által generált, majdnem feltörhetetlen üzenetekre: egyáltalán nem redundáns. A címzettnek elég egyetlen bitnyi információt rosszul vennie, hogy értelmetlen jelhalmazzá változzon az egész, úgyhogy egy Yvan Dutil nevű kanadai tudós nemrégiben „hibatűrővé” alakította át a LINCOS-t: az egyes oldalakon például újra és újra (alkalmasint többféle formában is) feltűnnek ugyanazok az információk; minden szimbólum 5 egység széles és 7 egység magas; a számok pontok sorozataként és LINCOS-szimbólumként egyaránt megjelennek, és még egy olyan állandó „hibajavító jelsorozat” is található minden oldalon, amelynek az esetleges változásaiból következtetni lehet a torzulásokra.

Ha tehát következetesen alkalmazzuk a dr. Arthur Scheribus-féle rejtjelezőgép alapján levont következtetéseket, akkor akár olyan üzenetet is létre tudunk hozni, amelyet egy hozzánk hasonló civilizáció nagy valószínűséggel képes volna megfejteni.

És az megint más kérdés, hogy egy ilyen, a miénkhez hasonló civilizáció létezésének a valószínűsége esetleg nulla.

Jegyzetek

[1] David Kahn, a talán legelismertebb kriptográfiatörténeti mű, a Codebreakers szerzője úgy fogalmaz az „atlanti csatát” illetően, hogy „lényegében a kereskedelmi célú hajók tengerészei, a hajóépítők, akik több hajót bocsátottak vízre, mint amennyit a német tengeralattjárók el tudtak süllyeszteni, meg a konvojokat védő repülőgépek és haditengerészek nyerték meg a tengeri háborút… de a titkosítás feltörése lényegesen lerövidítette, és ezáltal számos ember életét mentette meg. És ugyan milyen közreműködés lehet ennél fontosabb?” Vagyis Kahn szerint a szövetségesek – jóval nagyobb áldozatok árán persze – előbb-utóbb akkor is diadalmaskodtak volna, ha nem sikerül az Enigmával boldogulniuk.

[2] Az új titkosítási technikáknál például a „the” „t”-je külön kerül kódolásra a „h”-tól, és nem az egész „the”-t kódolják egyszerre.

[3] Amely könyv természetesen a földönkívüli civilizációkkal való és végül kudarcba torkolló kapcsolatfelvételi kísérletről szól. Az „Úr hangja” pedig maga a földönkívüliek által sugárzott üzenet.

[4] Tehát a lehető legkultúrafüggetlenebb módon feltörhető jelölési rendszert kell létrehoznunk, melynek a tartalma is a lehető legkultúrafüggetlenebb.

[5] SETI: Search for Extraterrestrial Intelligence, vagyis kutatás a földönkívüli értelem után. Kezdetben CETI-ről (Communication with Extraterrestrials) beszéltek, később ez változott SETI-re, amikor nyilvánvalóvá vált, hogy nem is olyan egyszerű felvenni a kapcsolatot egy idegen civilizációval.

[6] Vagyis ahol a kisugárzott képek például prímszámszor prímszámú mátrixból épülnek fel, és amint erre valaki rájön, már vissza is tudja fejteni.

[7] Egy platonista matematikus ennek megfelelően persze egy pillanatig sem vonná kétségbe, hogy szükségszerűen csak ugyanazokat a matematikai törvényszerűségeket fedezheti fel bármely földönkívüli civilizáció is. Ebből azonban még mindig nem következik, hogy az adott (esetleg végtelen) számú matematikai objektumból pontosan ugyanazokat „találja meg” egy másik civilizáció is, mint mi, tehát a matematikájuk sem feltétlenül lesz ugyanolyan, mint a miénk.

[8] Mert „nem lehet azt mondani, hogy léteznek, amíg nincsenek megkonstruálva véges sok lépésben, a természetes számokból kiindulva. Nem elegendő azt megmutatni – állapítja meg Davis és Hersh –, hogy nemlétezésük feltételezése ellentmondásra vezet.”

[9] Ilyen önkényes választás végső soron az is, hogy platonistának, formalistának vagy konstruktivistának valljuk-e magunkat.

[10] A „magasan fejlett” alatt olyan civilizációt értve, amely viszonylag bonyolult technológiákat is kifejlesztett. A kérdésre még visszatérünk.

[11] Meg például a „barátságos” számok, ahol az egyik szám a másik szám pozitív osztóinak összegével egyenlő. Ilyen többek között a pithagoreánusok által felfedezett 220 és a 284 is. Igaz, a barátságos számok „továbbfejlesztett” változataival még a XX. században is bíbelődtek a matematikusok, de semmiképpen nem tekintik őket olyan „alapvetőnek”, mint a prímeket. Az is igaz persze, hogy a prímek bizonyos értelemben „egyszerűbbek” a barátságos számoknál, de a példa valószínűleg azért így is eléggé érzékletes.

[12] De beszélhetnénk fényjelekkel, amit az idegenek szabad szemmel is látnak, vagy feltételezhetnénk, hogy megfelelő érzékszervük van a rádióhullámok észlelésére – a helyzet akkor is ugyanaz.

• Kultúra